Algèbre 2 [Lecture notes] by Olivier Debarre PDF

By Olivier Debarre

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Comme K → L est normale (resp. séparable), chaque Pi est scindé (resp. à racines simples) dans L, donc aussi le ppcm Q := P1 ∨ · · · ∨ Pn . Comme L est engendré sur K par les xi , qui sont des racines de Q, le corps L est un corps de décomposition du polynôme séparable Q ∈ K[X]. En utilisant le th. 23, on peut aussi dire qu’il existe x ∈ L tel que le polynôme minimal de x sur K est scindé à racines simples dans L et que L = K(x). Soit K → L une extension finie galoisienne. C’est donc le corps de décomposition d’un polynôme séparable P ∈ K[X].

Sa caractéristique est alors un nombre premier p et son sous-corps premier le corps Fp . L’extension Fp → K est de degré fini n, de sorte que K est de cardinal pn . 28. — a) Pour tout entier premier p et tout entier n 1, il existe un corps fini à pn éléments. n b) Tout corps fini à pn éléments est un corps de décomposition du polynôme X p − X sur Fp . En particulier, deux tels corps sont isomorphes. On parlera souvent du corps Fpn à pn éléments. 24 CHAPITRE I. EXTENSIONS DE CORPS n Démonstration.

Démonstration. — Soit N l’ensemble des nombres entiers n 1 tels que le polygone régulier à n côtés soit constructible à la règle et au compas. Si n ∈ N , alors 2n ∈ N (on peut bissecter n’importe quel angle constructible), et tout diviseur de n est dans N . De plus, si m et n sont dans N et sont premiers entre eux, alors mn ∈ N : en effet, exp(2iπ/m) et exp(2iπ/n) sont alors constructibles, et si u et v sont des entiers tels que um + vn = 1, on a exp(2iπ/mn) = exp(2iπ/m)u exp(2iπ/n)v , de sorte que exp(2iπ/mn) est aussi constructible.

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by Jeff
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